Авторы учебных материалов Городецкий Сергей Евгеньевич

Квалификация Кандидат физико-математических наук, председатель предметной комиссии по математике олимпиады «Физтех», специалист ЗФТШ при МФТИ
Место работы Кафедра высшей математики МФТИ

В заключении остановимся на ещё не обсуждавшийся в этом задании вопросе о роли рисунка в решении геометрических задач. Некоторые учащиеся и абитуриенты ограничиваются небрежным мелким рисунком, на котором даже трудно разобрать, какие обозначения...

В этом параграфе речь пойдёт о том, как ограниченность и монотонность функций применяются при решении уравнений и неравенств. Начнём с монотонности. Напомним определения: Функция `f` называется возрастающей на промежутке, если для любых чисел `x_1`, ...

Как правило, они решаются методом интервалов и не вызывают больших сложностей. Тем не менее бывают случаи, когда для понижения степени многочленов, присутствующих в неравенствах, необходимо произвести замену переменной, и подобные замены не всегда очев...

Мы уже видели, что прямоугольный треугольник обладает рядом интересных свойств. Рассмотрим ещё одно важное характеристическое свойство прямоугольного треугольника. Теорема 3.1 Если медиана треугольника равна половине стороны, к которой она провед...

Второе задание по геометрии посвящено главным образом теореме о сумме углов треугольника и различным следствиям из неё. Прежде чем переходить к ней, напомним свойства углов, образованных параллельными прямыми и секущей (доказательство опускаем). ...

В этом параграфе рассмотрим важные неравенства, которые имеют место в любом треугольнике. Внешним углом треугольника называется угол, смежный с внутренним углом этого треугольника. Иногда для чёткости формулировок сами углы треугольника называют т...

Нам уже известны формулы для решения квадратных уравнений. А что делать, если встретится уравнение более высокой степени? Оказывается, что для уравнений третьей и четвёртой степени есть формулы, позволяющие найти корни (но они редко исполь...

иррациональные неравенства Так называют неравенства, содержащие переменную под знаком корня. Для решения во многих случаях приходится возводить обе части неравенства в квадрат. Это действие является допустимым, если только обе части неравенст...

Текстовые задачи отличаются большим разнообразием: задачи на движение, на совместную работу, на смеси, на проценты и пр. Как правило, при решении текстовых задач мы вводим одну или несколько переменных, а затем составляем уравнение или систему ур...

В восьмом и девятом классах ЗФТШ было по два Задания по геометрии. Напомним, что были повторены темы: равенство и подобие треугольников, свойства параллелограмма, прямоугольный треугольник, свойства биссектрис, медиан и высот треугольника, теорема Мене...

Геометрическим местом точек на плоскости называется фигура, которая состоит из всех точек плоскости, обладающих определённым свойством. Каждая задача, связанная с нахождением того или иного геометрического места точек (ГМТ), требует доказател...

В отличие от систем линейных уравнений общих методов решения нет. Системы, в которых одно из уравнений линейное, а второе нелинейное, как правило, решаются следующим образом. Из линейного уравнения одна из переменных выражается через другую и подставля...

Наиболее часто встречаются следующие формулировки задач с параметром:а) для каждого значения параметра (параметров) решить уравнение (неравенство, систему);б) найти все значения параметра (параметров), при каждом из которых решения удовлетворяют некото...

Многие задачи с параметром сводятся к исследованию квадратного трёхчлена, поэтому рассмотрим эти задачи подробнее. I. При решении простейших задач бывает достаточно формулы для корней квадратного уравнения и теоремы Виета. Пример 7 При каких зна...

Вспомним некоторые понятия и определения, изученные вами в восьмом классе. Число $$ a$$ называется решением (или корнем) уравнения, если при его подстановке в уравнение вместо неизвестной уравнение превращается в верное равенство. Решить уравнение &nd...