Авторы учебных материалов Колесникова Софья Ильинична
-
Описание
Старший преподаватель кафедры высшей математики МФТИ , редактор журнала «Потенциал».
Автор пособий «Интенсивный курс подготовки к ЕГЭ» и «Решение сложных задач ЕГЭ».
Преподаватель подготовительных курсов МФТИ. - Место работы кафедра высшей математики МФТИ
Математика
Показательные и логарифмические уравнения, системы, неравенства
C 14 января
по 17 февраля
по 17 февраля
PA_Лекций: 2
PA_Учеников: 81
Математика
Показательные и логарифмические уравнения, системы, неравенства
C 27 декабря
по 4 февраля
по 4 февраля
PA_Лекций: 2
PA_Учеников: 141
Математика
Показательные и логарифмические уравнения, системы, неравенства
C 27 декабря
по 4 февраля
по 4 февраля
PA_Лекций: 2
PA_Учеников: 1011
Математика
Алгебраические уравнения, неравенства, системы уравнений и неравенств
C 6 ноября
по 10 декабря
по 10 декабря
PA_Лекций: 2
PA_Учеников: 81
Математика
Алгебраические уравнения, неравенства, системы уравнений и неравенств
C 9 октября
по 14 ноября
по 14 ноября
PA_Лекций: 2
PA_Учеников: 140
Математика
Алгебраические уравнения, неравенства, системы уравнений и неравенств
C 9 октября
по 14 ноября
по 14 ноября
PA_Лекций: 2
PA_Учеников: 1008
Математика
Показательные и логарифмические уравнения, системы, неравенства
C 26 декабря
по 18 февраля
по 18 февраля
PA_Лекций: 2
PA_Учеников: 110
Математика
Показательные и логарифмические уравнения, системы, неравенства
C 26 декабря
по 29 января
по 29 января
PA_Лекций: 2
PA_Учеников: 187
Математика
Показательные и логарифмические уравнения, системы, неравенства
C 26 декабря
по 29 января
по 29 января
PA_Лекций: 2
PA_Учеников: 922
Математика
Алгебраические уравнения, неравенства, системы уравнений и неравенств
C 1 августа
по 2 октября
по 2 октября
PA_Лекций: 2
PA_Учеников: 188
Математика
Алгебраические уравнения и неравенства
C 1 августа
по 2 октября
по 2 октября
PA_Лекций: 2
PA_Учеников: 1092
Математика
Алгебраические уравнения, неравенства, системы уравнений и неравенств
C 1 августа
по 2 октября
по 2 октября
PA_Лекций: 2
PA_Учеников: 921
Математика
Алгебраические уравнения, неравенства, системы уравнений и неравенств
C 1 августа
по 5 ноября
по 5 ноября
PA_Лекций: 1
PA_Учеников: 112
Математика
Алгебраические уравнения и неравенства
C 1 августа
по 5 ноября
по 5 ноября
PA_Лекций: 1
PA_Учеников: 106
Математика
Алгебраические уравнения и неравенства
C 1 августа
по 2 октября
по 2 октября
PA_Лекций: 2
PA_Учеников: 227
Математика
Показательные и логарифмические уравнения, системы, неравенства
C 11 января
по 20 февраля
по 20 февраля
PA_Лекций: 1
PA_Учеников: 322
Математика
Показательные и логарифмические уравнения, системы, неравенства
C 11 января
по 20 февраля
по 20 февраля
PA_Лекций: 1
PA_Учеников: 104
Математика
Показательные и логарифмические уравнения, системы, неравенства
C 11 января
по 20 февраля
по 20 февраля
PA_Лекций: 3
PA_Учеников: 782
Математика
Алгебраические уравнения, неравенства, системы уравнений и неравенств
C 20 сентября
по 27 октября
по 27 октября
PA_Лекций: 1
PA_Учеников: 105
Математика
Алгебраические уравнения и неравенства
C 20 сентября
по 27 октября
по 27 октября
PA_Лекций: 1
PA_Учеников: 167
Математика
Алгебраические уравнения, неравенства, системы уравнений и неравенств
C 12 сентября
по 20 октября
по 20 октября
PA_Лекций: 1
PA_Учеников: 323
Математика
Алгебраические уравнения и неравенства
C 12 сентября
по 20 октября
по 20 октября
PA_Лекций: 1
PA_Учеников: 582
Математика
Алгебраические уравнения, неравенства, системы уравнений и неравенств
C 1 сентября
по 20 октября
по 20 октября
PA_Лекций: 1
PA_Учеников: 870
Математика
Алгебраические уравнения и неравенства
C 1 сентября
по 20 октября
по 20 октября
PA_Лекций: 1
PA_Учеников: 1071
Математика
Показательные и логарифмические уравнения, системы, неравенства
C 15 декабря
по 20 января
по 20 января
PA_Лекций: 0
PA_Учеников: 1211
Математика
Показательные и логарифмические уравнения, системы, неравенства
C 15 декабря
по 20 февраля
по 20 февраля
PA_Лекций: 0
PA_Учеников: 265
Математика
Алгебраические уравнения, неравенства, системы уравнений и неравенств
C 20 сентября
по 10 ноября
по 10 ноября
PA_Лекций: 0
PA_Учеников: 395
Математика
Алгебраические уравнения и неравенства
C 20 сентября
по 10 ноября
по 10 ноября
PA_Лекций: 0
PA_Учеников: 327
Математика
Алгебраические уравнения, неравенства, системы уравнений и неравенств
C 1 июля
по 25 сентября
по 25 сентября
PA_Лекций: 0
PA_Учеников: 1420
Математика
Алгебраические уравнения и неравенства
C 1 июля
по 26 сентября
по 26 сентября
PA_Лекций: 0
PA_Учеников: 1486
Математика
Показательные и логарифмические уравнения, системы, неравенства
C 24 декабря
по 31 января
по 31 января
PA_Лекций: 0
PA_Учеников: 301
Математика
Показательные и логарифмические уравнения, системы, неравенства
C 13 декабря
по 20 января
по 20 января
PA_Лекций: 0
PA_Учеников: 1210
Математика
Алгебраические уравнения, неравенства, системы уравнений и неравенств
C 1 октября
по 31 октября
по 31 октября
PA_Лекций: 0
PA_Учеников: 369
Математика
Алгебраические уравнения и неравенства
C 1 октября
по 31 октября
по 31 октября
PA_Лекций: 0
PA_Учеников: 320
Математика
Алгебраические уравнения, неравенства, системы уравнений и неравенств
C 1 июля
по 25 сентября
по 25 сентября
PA_Лекций: 0
PA_Учеников: 1363
Математика
Алгебраические уравнения и неравенства
C 1 июля
по 12 октября
по 12 октября
PA_Лекций: 0
PA_Учеников: 1370
Математика
Алгебраические уравнения и неравенства
C 1 июля
по 12 октября
по 12 октября
PA_Лекций: 0
PA_Учеников: 14
Математика
Алгебраические уравнения, неравенства, системы уравнений и неравенств
C 1 июля
по 25 сентября
по 25 сентября
PA_Лекций: 0
PA_Учеников: 9
Математика
Показательные и логарифмические уравнения, системы, неравенства
C 12 декабря
по 9 января
по 9 января
PA_Лекций: 0
PA_Учеников: 18
Математика
Показательные и логарифмические уравнения, системы, неравенства
C 12 декабря
по 9 января
по 9 января
PA_Лекций: 0
PA_Учеников: 61
Математика
Показательные и логарифмические уравнения, системы, неравенства
C 11 декабря
по 20 января
по 20 января
PA_Лекций: 0
PA_Учеников: 321
Математика
Показательные и логарифмические уравнения, системы, неравенства
C 11 декабря
по 11 марта
по 11 марта
PA_Лекций: 0
PA_Учеников: 241
Алгебраические уравнения, неравенства, системы уравнений и неравенств
C 1 октября
по 25 октября
по 25 октября
PA_Лекций: 0
PA_Учеников: 329
Математика
Алгебраические уравнения и неравенства
C 1 октября
по 26 октября
по 26 октября
PA_Лекций: 0
PA_Учеников: 278
Алгебраические уравнения, неравенства, системы уравнений и неравенств
C 12 июля
по 30 сентября
по 30 сентября
PA_Лекций: 0
PA_Учеников: 52
Математика
Алгебраические уравнения и неравенства
C 11 июля
по 30 сентября
по 30 сентября
PA_Лекций: 0
PA_Учеников: 25
Алгебраические уравнения, неравенства, системы уравнений и неравенств
C 1 июля
по 21 октября
по 21 октября
PA_Лекций: 0
PA_Учеников: 255
Математика
Алгебраические уравнения и неравенства
C 1 июля
по 26 сентября
по 26 сентября
PA_Лекций: 0
PA_Учеников: 466
Математика
Показательные и логарифмические уравнения, системы, неравенства
C 12 декабря
по 9 января
по 9 января
PA_Лекций: 0
PA_Учеников: 206
Алгебраические уравнения, неравенства, системы уравнений и неравенств
C 4 октября
по 25 января
по 25 января
PA_Лекций: 0
PA_Учеников: 287
Математика
Алгебраические уравнения и неравенства
C 4 октября
по 25 января
по 25 января
PA_Лекций: 0
PA_Учеников: 350
Алгебраические уравнения, неравенства, системы уравнений и неравенств
C 12 июля
по 30 сентября
по 30 сентября
PA_Лекций: 0
PA_Учеников: 217
Математика
Алгебраические уравнения и неравенства
C 11 июля
по 30 сентября
по 30 сентября
PA_Лекций: 0
PA_Учеников: 243
26 апреля 2023 г.
§3. Неравенства, содержащие модуль 26.04.2023 11:20
В этом параграфе рассматриваются неравенства, содержащие переменную под знаком абсолютной величины (под знаком модуля).
Во многих случаях для решения таких неравенств целесообразно разбить числовую ось на промежутки так, чтобы функции, стоящие под зна...
620 просмотров
13 марта 2022 г.
§9. Логарифмические неравенства. 13.03.2022 16:43
Пусть $$ f\left(x\right)>0$$, $$ f\left(x\right)$$ непрерывна на $$ (c;d)$$, тогда $$ {\text{log}}_{a}f\left(x\right)$$ тоже непрерывен на $$ (c;d)$$, и для решения неравенства $$ {\text{log}}_{a}f\left(x\right)>0$$ применим метод интервалов. При...
2 комментария
647 просмотров
13 марта 2022 г.
§4. Системы уравнений 13.03.2022 16:43
1. Самым распространенным методом решений систем является метод последовательного исключения неизвестных: выражаем одно неизвестное из одного из уравнений и подставляем в остальные. Получаем новую систему, в которой число уравнений и...
852 просмотра
13 марта 2022 г.
§1. Понятие равносильности уравнений и неравенств 13.03.2022 16:43
Пусть на некоторых числовых множествах $$ {X}_{1}, {X}_{2}$$ заданы соответственно функции $$ f\left(x\right), g\left(x\right)$$ .
Определение
Отношения вида $$ f\left(x\right)>g\left(x\right)$$, $$f\left(x\right)<g\lef...
5 комментариев
825 просмотров
9 марта 2021 г.
§1. Равносильность уравнений и неравенств 09.03.2021 08:40
В нашем задании большую роль будет играть понятие равносильности.
Два неравенства
`f_1 (x) > g_1 (x)` и `f_2 (x) > g_2 (x)`
(1)
или два уравнения
`f_1 (x) = g_1 (x)` ...
1156 просмотров
9 марта 2021 г.
§4. Рациональные неравенства. Метод интервалов. 09.03.2021 08:40
В 9-м классе изучается метод интервалов прежде всего для многочленов. Он основан на том, что
а) двучлен `(x-a)` положителен при `x > a` и отрицателен при `x < a`, т. е. меняет знак при переходе через точку `a`,
б) квадрат двучлена `(x-a)^2`&nbs...
1121 просмотр
9 марта 2021 г.
§1. Понятие равносильности уравнений и неравенств 09.03.2021 08:40
Пусть на некоторых числовых множествах $$ {X}_{1}, {X}_{2}$$ заданы соответственно функции $$ f\left(x\right), g\left(x\right)$$ .
Определение
Отношения вида $$ f\left(x\right)>g\left(x\right)$$, $$f\left(x\right)<g\lef...
1238 просмотров
10 июня 2020 г.
Литература 10.06.2020 16:42
С. И. Колесникова «Интенсивный курс подготовки к Единому Государственному экзамену». Москва, Айрис – Пресс.
«Решение сложных задач Единого Государственного экзамена» Москва, Айрис – Пресс или «Вако»,...
1409 просмотров
4 июня 2020 г.
Литература 04.06.2020 10:21
С. И. Колесникова «Интенсивный курс подготовки к Единому Государственному экзамену». Москва, Айрис – Пресс.
«Решение сложных задач Единого Государственного экзамена» Москва, Айрис – Пресс или «Вако», 2...
1 комментарий
1476 просмотров
2 июня 2020 г.
§2. Логарифмирование и потенцирование 02.06.2020 19:49
При решении показательных и логарифмических уравнений особенно часто используются два преобразования: потенцирование и логарифмирование. Эти преобразования не являются равносильными. Логарифмированием уравнения $$ f\left(x\right)=g\left(x\right)$$ по о...
1293 просмотра
2 июня 2020 г.
§1. Введение 02.06.2020 19:49
Напомним основные свойства логарифмической и показательной функций.
В школе принимается без доказательства, что для любых положительных чисел $$ a$$ и $$ b$$ и любых действительных чисел $$ \alpha $$ и $$ \beta $$ справедливы свойства:
свойства
...
1168 просмотров
2 июня 2020 г.
§3. Показательные уравнения 02.06.2020 19:49
Из монотонности показательной функции следует, что $$ {a}^{x}={a}^{y}\iff x=y$$.
Из свойств показательной функции следует, что, если $$ a>0$$, $$ a\ne 1$$, то простейшее показательное уравнение $$ {a}^{x}=b$$ при $$ b\le 0$$ не имеет решения, а при...
1211 просмотров
2 июня 2020 г.
§4. Логарифмические уравнения 02.06.2020 19:49
Логарифмические уравнения считаются сложными. Во-первых, потому, что у логарифма есть область определения. Во-вторых, подлогарифмические выражения могут быть любыми функциями, и надо помнить, что последующие преобразования могут быть неравносильными(на...
1125 просмотров
2 июня 2020 г.
§5. Сложная экспонента. Уравнение вида $$a(x)^{f(x)} = a(x)^{g(x)} $$ 02.06.2020 19:49
Рассмотрим выражение $$ y\left(x\right)=a(x{)}^{f\left(x\right)}$$. Что это за функция, какова ее область определения?
По определению, полагают, для любого $$ c>0$$, $$ c\ne 1$$, $$ a\left(x\right)>0$$
$$ a(x{)}^{b\left(x\...
1273 просмотра
2 июня 2020 г.
§7. Показательные неравенства 02.06.2020 19:49
Рассмотрим неравенство $$ {a}^{f\left(x\right)}>{a}^{g\left(x\right)}$$.
Пусть $$ f\left(x\right)$$ и $$ g\left(x\right)$$ - непрерывные функции на некотором промежутке $$ X$$, где задано число $$ a>0$$. Тогда $$ {a}^{f\left(x\right)}$$, $$ {a}^...
1107 просмотров
2 июня 2020 г.
§8. Неравенства вида $$a(x)^{f(x)} \gt a(x)^{g(x)}$$ 02.06.2020 19:49
Рассмотрим неравенство $$ a(x{)}^{f\left(x\right)}>a(x{)}^{g\left(x\right)}$$, где $$ a\left(x\right),f\left(x\right),g\left(x\right)$$ - непрерывные функции. ОДЗ: $$ a\left(x\right)>0$$. Воспользуемся определением сложной экспоненты, взяв в каче...
1327 просмотров
2 июня 2020 г.
§9. Логарифмические неравенства. 02.06.2020 19:49
Пусть $$ f\left(x\right)>0$$, $$ f\left(x\right)$$ непрерывна на $$ (c;d)$$, тогда $$ {\text{log}}_{a}f\left(x\right)$$ тоже непрерывен на $$ (c;d)$$, и для решения неравенства $$ {\text{log}}_{a}f\left(x\right)>0$$ применим метод интервалов. При...
1144 просмотра
2 июня 2020 г.
§10. Неравенства для логарифмов с переменным основанием 02.06.2020 19:49
Рассмотрим неравенство $$ {\text{log}}_{a\left(x\right)}f\left(x\right)>0$$, где $$ a\left(x\right)$$, $$ f\left(x\right)$$ непрерывны на промежутке $$ X$$.
ОДЗ: $$ a\left(x\right)>0,a\ne 1,f\left(x\right)>0$$.
Оказывается, что и в это...
1114 просмотров
2 июня 2020 г.
§6. Логарифмы с переменным основанием. Уравнения вида $$\textrm{log}_{a(x)}{f(x)} = \textrm{log}_{a(x)}{g(x)}$$ 02.06.2020 19:49
Рассмотрим выражение $$ y\left(x\right)={\text{log}}_{a}xf\left(x\right)$$.
По определению, для любого $$ c>0$$, $$ c\ne 1$$
$$ {\text{log}}_{a\left(x\right)}f\left(x\right)=\frac{{\text{log}}_{c}f\left(x\right)}{{\text{log}}_{c}a\l...
1238 просмотров
7 декабря 2019 г.
§5. Однородные уравнения и системы 07.12.2019 17:32
Функция `f(x, y)` называется однородной степени `k`, если `f(tx, ty)=t^k f(x, y)`.
Например, функция `f(x, y)=4x^3 y -5xy^3 +x^2 y^2` является однородной степени `4`, т. к.
`f(tx, ty)=4(tx)^3 (ty) -5(tx)(ty)^3 +(tx)^2 (ty)^2 =t^4 (4x^3 y -5xy^...
1601 просмотр
7 декабря 2019 г.
§4. Системы уравнений 07.12.2019 17:32
1. Самым распространенным методом решений систем является метод последовательного исключения неизвестных: выражаем одно неизвестное из одного из уравнений и подставляем в остальные. Получаем новую систему, в которой число уравнений и...
1431 просмотр
7 декабря 2019 г.
Уравнения вида $$\sqrt{f(x)}=g(x)$$ 07.12.2019 17:32
При решении уравнений этого вида очень многие школьники, прежде всего, находят ОДЗ: `f(x)>=0`, затем решают получившееся квадратное уравнение, проверяют после нахождения решений условие `f(x)>=0` и успокаиваются. Ответ может оказаться неверн...
1676 просмотров
7 декабря 2019 г.
§2. Система уравнений и неравенств.совокупность уравнений и неравенств. 07.12.2019 17:32
Пусть задано неравенство$$ f\left(x\right)>g\left(x\right)$$ . По определению, неравенство выполнено, если разность функций $$ f\left(x\right)-g\left(x\right)>0$$. Поэтому, за редким исключением, неравенства будем решать “сравнением с...
1597 просмотров
7 декабря 2019 г.
§3. Квадратные уравнения и сводящиеся к ним 07.12.2019 17:32
На вступительных экзаменах не разрешается пользоваться калькуляторами. Поэтому полезной оказывается следующая формула для корней квадратного уравнения $$ a{x}^{2}+bx+c=0, a\ne 0.$$
`x_(1,2)=(-b/2+-sqrt(b^2/4-ac))/a`.
Она особенно удобна, ко...
1532 просмотра
7 декабря 2019 г.
5. Уравнения вида |f(x)| = g(x) 07.12.2019 17:32
Решают такие уравнения по-разному.
Первый способ, который чаще всего используется в школе. Он применяется в том случае, когда функция `f(x)` проще, чем `g(x)`.
$$\begin{array}{l}\left|f\left(x\right)\right|=g\left(x\right)\iff \left[\...
1624 просмотра
7 декабря 2019 г.
12. Задачи с параметром 07.12.2019 17:32
Пример 21
Найдите все значения параметра `a`, при каждом из которых уравнение `x^2-6|x|-a+6=0` имеет ровно два различных решения.
Решение
Первый способ – решение «в лоб».
Чтобы уравнение `x^2-6|x|-a+6=0` имел...
1 комментарий
1557 просмотров
7 декабря 2019 г.
§1. Равносильность уравнений и неравенств 07.12.2019 17:32
В нашем задании большую роль будет играть понятие равносильности.
Два неравенства
`f_1 (x) > g_1 (x)` и `f_2 (x) > g_2 (x)`
(1)
или два уравнения
`f_1 (x) = g_1 (x)` ...
1591 просмотр
7 декабря 2019 г.
§2. Иррациональные неравенства 07.12.2019 17:32
Иррациональными называют неравенства, в которых переменные входят под знаком корня. Так как корень чётной степени существует только у неотрицательных чисел, то при решении неравенств, содержащих такое выражение, прежде всего удобно найти ОДЗ.
П...
5 комментариев
1615 просмотров
7 декабря 2019 г.
§3. Неравенства, содержащие модуль 07.12.2019 17:32
В этом параграфе рассматриваются неравенства, содержащие переменную под знаком абсолютной величины (под знаком модуля).
Во многих случаях для решения таких неравенств целесообразно разбить числовую ось на промежутки так, чтобы функции, стоящие под зна...
1648 просмотров
7 декабря 2019 г.
§1. Понятие равносильности уравнений и неравенств 07.12.2019 17:32
Пусть на некоторых числовых множествах $$ {Х}_{1}, {Х}_{2}$$ заданы соответственно функции $$ f\left(x\right), g\left(x\right)$$ .
Определение
Отношения вида $$ f\left(x\right)>g\left(x\right)$$, $$f\left(x\right)<g\lef...
3 комментария
1582 просмотра
3 июня 2019 г.
§4. Системы уравнений 03.06.2019 07:28
1. Самым распространенным методом решений систем является метод последовательного исключения неизвестных: выражаем одно неизвестное из одного из уравнений и подставляем в остальные. Получаем новую систему, в которой число уравнений и...
1914 просмотров
3 июня 2019 г.
§3. Неравенства, содержащие модуль 03.06.2019 07:28
В этом параграфе рассматриваются неравенства, содержащие переменную под знаком абсолютной величины (под знаком модуля).
Во многих случаях для решения таких неравенств целесообразно разбить числовую ось на промежутки так, чтобы функции, стоящие под зна...
2194 просмотра
3 июня 2019 г.
§2. Иррациональные неравенства 03.06.2019 07:28
Иррациональными называют неравенства, в которых переменные входят под знаком корня. Так как корень чётной степени существует только у неотрицательных чисел, то при решении неравенств, содержащих такое выражение, прежде всего удобно найти ОДЗ.
П...
2 комментария
2420 просмотров
3 июня 2019 г.
§1. Равносильность уравнений и неравенств 03.06.2019 07:28
В нашем задании большую роль будет играть понятие равносильности.
Два неравенства
`f_1 (x) > g_1 (x)` и `f_2 (x) > g_2 (x)`
(1)
или два уравнения
`f_1 (x) = g_1 (x)` ...
2567 просмотров
28 мая 2019 г.
5. Уравнения вида |f(x)| = g(x) 28.05.2019 07:30
Решают такие уравнения по-разному.
Первый способ, который чаще всего используется в школе. Он применяется в том случае, когда функция `f(x)` проще, чем `g(x)`.
$$\begin{array}{l}{\left|f(x)\right|=g(x)\Leftrightarrow\left[\begin{array...
1 комментарий
2273 просмотра
28 мая 2019 г.
§4. Рациональные неравенства. Метод интервалов. 28.05.2019 07:30
В 9-м классе изучается метод интервалов прежде всего для многочленов. Он основан на том, что
а) двучлен `(x-a)` положителен при `x > a` и отрицателен при `x < a`, т. е. меняет знак при переходе через точку `a`,
б) квадрат двучлена `(x-a)^2`&nbs...
2236 просмотров
28 мая 2019 г.
§3. Квадратные уравнения и сводящиеся к ним 28.05.2019 07:30
На вступительных экзаменах не разрешается пользоваться калькуляторами. Поэтому полезной оказывается следующая формула для корней квадратного уравнения $$ a{x}^{2}+bx+c=0, a\ne 0.$$
`x_(1,2)=(-b/2+-sqrt(b^2/4-ac))/a`.
Она особенно удобна, ко...
1 комментарий
1701 просмотр
10 декабря 2018 г.
§9. Логарифмические неравенства 10.12.2018 11:26
Пусть f(x)>0f(x)>0, f(x)f(x) непрерывна на (c;d)(c;d), тогда logaf(x)\textrm{log}_a{f(x)} тоже непрерывен на (c;d)(c;d), и для решения неравенства logaf(x)>0\textrm{log}_a{f(x)}>0 применим метод интервалов. При решении этого неравенства зна...
1 комментарий
2206 просмотров
10 декабря 2018 г.
§10. Неравенства для логарифмов с переменным основанием 10.12.2018 11:26
Рассмотрим неравенство loga(x)f(x)>0\textrm{log}_{a(x)}{f(x)}>0, где a(x)a(x), f(x)f(x) непрерывны на промежутке XX.
ОДЗ: a(x)>0,a≠1,f(x)>0a(x)>0, a\neq 1, f(x)>0.
Оказывается, что и в этом случае
(УР Л8)
Знак фун...
2306 просмотров
10 декабря 2018 г.
§8. Неравенства вида $$a(x)^{f(x)} \gt a(x)^{g(x)}$$ 10.12.2018 11:26
Рассмотрим неравенство a(x)f(x)>a(x)g(x)a(x)^{f(x)}>a(x)^{g(x)}, где a(x),f(x),g(x)a(x), f(x), g(x) - непрерывные функции. ОДЗ: a(x)>0a(x)>0. Воспользуемся определением сложной экспоненты, взяв в качестве cc число ee (можно взять любое допу...
2219 просмотров
10 декабря 2018 г.
§7. Показательные неравенства 10.12.2018 11:26
Рассмотрим неравенство af(x)>ag(x)a^{f(x)}>a^{g(x)}.
Пусть f(x)f(x) и g(x)g(x) - непрерывные функции на некотором промежутке XX, где задано число a>0a>0. Тогда af(x)a^{f(x)}, ag(x)a^{g(x)} - тоже непрерывны на XX и к неравенству af(x)>a...
1 комментарий
2168 просмотров
10 декабря 2018 г.
§6. Логарифмы с переменным основанием. Уравнения вида $$\textrm{log}_{a(x)}{f(x)} = \textrm{log}_{a(x)}{g(x)}$$ 10.12.2018 11:26
Рассмотрим выражение y(x)=logaxf(x)y(x) = \textrm{log}_a{x}{f(x)}.
По определению, для любого c>0c>0, c≠1c \neq 1
loga(x)fx=logcf(x)logca(x){\text{log}}_{a(x)}f\left(x\right)=\frac{{\text{log}}_c{f(x)}}{{\text{log}}_c{a(x)...
2 комментария
2303 просмотра
10 декабря 2018 г.
§5. Сложная экспонента. Уравнение вида $$a(x)^{f(x)} = a(x)^{g(x)} $$ 10.12.2018 11:26
Рассмотрим выражение y(x)=a(x)f(x)y(x)=a(x)^{f(x)}. Что это за функция, какова ее область определения?
По определению, полагают, для любого c>0c>0, c≠1c\neq 1, a(x)>0a(x)>0
a(x)b(x)=cb(x)logca(x)a(x)^{b(x)} ...
1 комментарий
2720 просмотров
10 декабря 2018 г.
§4. Логарифмические уравнения 10.12.2018 11:26
Логарифмические уравнения считаются сложными. Во-первых, потому, что у логарифма есть область определения. Во-вторых, подлогарифмические выражения могут быть любыми функциями, и надо помнить, что последующие преобразования могут быть неравносильными(на...
2367 просмотров
10 декабря 2018 г.
§3. Показательные уравнения 10.12.2018 11:26
Из монотонности показательной функции следует, что ax=ay⇔x=ya^x=a^y \Leftrightarrow x=y.
Из свойств показательной функции следует, что, если a>0a>0, a≠1a \neq 1, то простейшее показательное уравнение ax=ba^x=b при b≤0b \leq 0 не имеет...
2324 просмотра
10 декабря 2018 г.
§1. Введение 10.12.2018 11:26
Напомним основные свойства логарифмической и показательной функций.
В школе принимается без доказательства, что для любых положительных чисел aa и bb и любых действительных чисел α\alpha и β\beta справедливы свойства:
свойства
С1. a&#...
2105 просмотров
10 декабря 2018 г.
§2. Логарифмирование и потенцирование 10.12.2018 11:26
При решении показательных и логарифмических уравнений особенно часто используются два преобразования: потенцирование и логарифмирование. Эти преобразования не являются равносильными. Логарифмированием уравнения f(x)=g(x)f(x)=g(x) по основанию aa (...
2550 просмотров
9 июля 2018 г.
Введение 09.07.2018 10:45
В нашем задании большую роль будет играть равносильность уравнений и систем. Поэтому коротко мы напомним основные понятия, связанные с этим.
Неравенства – одна из важнейших тем в школьном курсе математики. Мы вспомним, прежде всего, метод интерв...
2656 просмотров
6 июля 2018 г.
§6. Симметрические системы 06.07.2018 08:46
Функция `f(x,y)` называется симметрической, если `f(x,y) = f(y,x)`.
Система уравнений вида fx,y=agx,y=b\left\{\begin{array}{l}f\left(x,y\right)=a\\g\left(x,y\right)=b\end{array}\right., где `f(x,y)`, `g(x,y)` - симметрические, называется симметри...
1 комментарий
3042 просмотра
6 июля 2018 г.
§5. Однородные уравнения и системы 06.07.2018 08:46
Функция `f(x, y)` называется однородной степени `k`, если `f(tx, ty)=t^k f(x, y)`.
Например, функция `f(x, y)=4x^3 y -5xy^3 +x^2 y^2` является однородной степени `4`, т. к.
`f(tx, ty)=4(tx)^3 (ty) -5(tx)(ty)^3 +(tx)^2 (ty)^2 =t^4 (4x^3 y -5xy^...
2774 просмотра
6 июля 2018 г.
§4. Системы уравнений 06.07.2018 08:46
1. Самым распространенным методом решений систем является метод последовательного исключения неизвестных: выражаем одно неизвестное из одного из уравнений и подставляем в остальные. Получаем новую систему, в которой число уравнений и...
3203 просмотра
6 июля 2018 г.
§3. Неравенства, содержащие модуль 06.07.2018 08:46
В этом параграфе рассматриваются неравенства, содержащие переменную под знаком абсолютной величины (под знаком модуля).
Во многих случаях для решения таких неравенств целесообразно разбить числовую ось на промежутки так, чтобы функции, стоящие под зна...
3010 просмотров
6 июля 2018 г.
§2. Иррациональные неравенства 06.07.2018 08:46
Иррациональными называют неравенства, в которых переменные входят под знаком корня. Так как корень чётной степени существует только у неотрицательных чисел, то при решении неравенств, содержащих такое выражение, прежде всего удобно найти ОДЗ.
П...
3096 просмотров
6 июля 2018 г.
§1. Равносильность уравнений и неравенств 06.07.2018 08:46
В нашем задании большую роль будет играть понятие равносильности.
Два неравенства
`f_1 (x) > g_1 (x)` и `f_2 (x) > g_2 (x)`
(1)
или два уравнения
`f_1 (x) = g_1 (x)` ...
3216 просмотров
6 июля 2018 г.
Введение 06.07.2018 08:46
Цель нашего задания - вспомнить основные правила и приемы решения алгебраических неравенств и систем уравнений. Многие из них вам хорошо известны, некоторые покажутся новыми и, с первого взгляда, даже лишними, но не спешите их отбросить сразу - р...
2741 просмотр
6 июля 2018 г.
12. Задачи с параметром 06.07.2018 08:34
Пример 21
Найдите все значения параметра `a`, при каждом из которых уравнение `x^2-6|x|-a+6=0` имеет ровно два различных решения.
Решение
Первый способ – решение «в лоб».
Чтобы уравнение `x^2-6|x|-a+6=0` имел...
3218 просмотров
6 июля 2018 г.
11. Возвратные уравнения. 06.07.2018 08:34
определение
Уравнение вида `ax^4+bx^3+cx^2+-bx+a=0` называется возвратным.
Чтобы его решить, надо вынести за скобку `x^2`. Тогда выражение в скобке приведётся к квадратному уравнению относительно `x+-1/x`:
`ax^4+bx^3+cx^2+-bx+a=0hArrx...
2892 просмотра
6 июля 2018 г.
Уравнение вида `sqrt{ax+b}=cx+d` 06.07.2018 08:34
Это уравнение можно решать стандартным способом. Но иногда ответить на поставленный вопрос помогает график. Уметь строить эскизы левой и правой частей уравнения `sqrt{ax+b}=cx+d` очень полезно. Графическая интерпретация решения такого уравнен...
2902 просмотра
6 июля 2018 г.
Уравнения вида `sqrt{f(x)}=sqrt{g(x)}` 06.07.2018 08:34
В ОДЗ обе части неотрицательны, и возведение в квадрат даёт равносильное в ОДЗ уравнение `f(x)=g(x)`. Поэтому
f(x)=g(x)⇔f(x)≥0,f(x)=g(x)⇔g(x)≥0,f(x)=g(x).\sqrt{f(x)}=\sqrt{g(x)}\Leftrightarrow\left\{\begin...
2797 просмотров
6 июля 2018 г.
Уравнения вида $$\sqrt{f(x)}=g(x)$$ 06.07.2018 08:34
При решении уравнений этого вида очень многие школьники, прежде всего, находят ОДЗ: `f(x)>=0`, затем решают получившееся квадратное уравнение, проверяют после нахождения решений условие `f(x)>=0` и успокаиваются. Ответ может оказаться неверн...
2958 просмотров
6 июля 2018 г.
Уравнения вида $$\alpha^2\sqrt{x+a}+\beta^2\sqrt{x+b}=\mathbf{const}.$$ Монотонность 06.07.2018 08:34
Пример 14
Решите уравнение 2x-3+4x+1=4.\sqrt{2x-3}+\sqrt{4x+1}=4.
Решение
Функция монотонно возрастает на всей области определения – любая горизонтальная прямая, если пересекает график, то только один раз. Этим и воспользуемся. ...
2942 просмотра
6 июля 2018 г.
6, Уравнения вида |f(x)|=|g(x)| 06.07.2018 08:34
Так как обе части уравнения неотрицательны, то
|f(x)|=|g(x)|⇔f2(x)=g2(x)⇔f2(x)-g2(x)==(f(x)-g(x))(f(x)+g(x))=0⇒\begin{array}{l}\vert f(x)\vert=\vert g(x)\vert\Leftrightarrow f^2(x)=g^2(x)\Leftrightarrow f^2(x)-g^2(x)=\\=(f(x)-g(x)...
3781 просмотр
6 июля 2018 г.
5. Уравнения вида |f(x)| = g(x) 06.07.2018 08:34
Решают такие уравнения по-разному.
Первый способ, который чаще всего используется в школе. Он применяется в том случае, когда функция `f(x)` проще, чем `g(x)`.
f(x)=g(x)⇔f(x)≥0,f(x)=g(x),f(x)<0,f(x)=-g(x).\begin{array...
1 комментарий
2850 просмотров
6 июля 2018 г.
§4. Рациональные неравенства. Метод интервалов. 06.07.2018 08:34
В 9-м классе изучается метод интервалов прежде всего для многочленов. Он основан на том, что
а) двучлен `(x-a)` положителен при `x > a` и отрицателен при `x < a`, т. е. меняет знак при переходе через точку `a`,
б) квадрат двучлена `(x-a)^2`&nbs...
2881 просмотр
6 июля 2018 г.
§3. Квадратные уравнения и сводящиеся к ним 06.07.2018 08:34
На вступительных экзаменах не разрешается пользоваться калькуляторами. Поэтому полезной оказывается следующая формула для корней квадратного уравнения ax2+bx+c=0, a≠0.ax^2+bx+c=0,\;a\neq0.
x1,2=-b2±b24-aca.x_{1,2}=\dfrac{-{\displayst...
2923 просмотра
6 июля 2018 г.
§2. Система уравнений и неравенств.совокупность уравнений и неравенств. 06.07.2018 08:34
Пусть задано неравенствоf(x)>g(x)f(x) > g(x) . По определению, неравенство выполнено, если разность функций f(x)-g(x)>0f(x)-g(x) > 0. Поэтому, за редким исключением, неравенства будем решать “сравнением с нулём” и записыва...
2835 просмотров
5 июля 2018 г.
§1. Понятие равносильности уравнений и неравенств 05.07.2018 16:18
Пусть на некоторых числовых множествах Х1, Х2Х_1,\;Х_2 заданы соответственно функции f(x), g(x)f(x),\;g(x) .
Определение
Отношения вида f(x)>g(x)f(x)\gt g(x), f(x)≤g(x)f(x)\leq g(x), f(x)=g(x)f(x)=g(x) называю...
3113 просмотров
28 декабря 2017 г.
§10. Неравенства для логарифмов с переменным основанием 28.12.2017 15:50
Рассмотрим неравенство loga(x)f(x)>0\textrm{log}_{a(x)}{f(x)}>0, где a(x)a(x), f(x)f(x) непрерывны на промежутке XX.
ОДЗ: a(x)>0,a≠1,f(x)>0a(x)>0, a\neq 1, f(x)>0.
Оказывается, что и в этом случае
Знак функции loga(x)f...
2305 просмотров
28 декабря 2017 г.
§9. Логарифмические неравенства 28.12.2017 13:33
Пусть f(x)>0f(x)>0, f(x)f(x) непрерывна на (c;d)(c;d), тогда logaf(x)\textrm{log}_a{f(x)} тоже непрерывен на (c;d)(c;d), и для решения неравенства logaf(x)>0\textrm{log}_a{f(x)}>0 применим метод интервалов. При решении этого неравенства зна...
2486 просмотров
28 декабря 2017 г.
§8. Неравенства вида $$a(x)^{f(x)} \gt a(x)^{g(x)}$$ 27.12.2017 23:18
Рассмотрим неравенство a(x)f(x)>a(x)g(x)a(x)^{f(x)}>a(x)^{g(x)}, где a(x),f(x),g(x)a(x), f(x), g(x) - непрерывные функции. ОДЗ: a(x)>0a(x)>0. Воспользуемся определением сложной экспоненты, взяв в качестве cc число ee (можно взять любое допу...
3273 просмотра
27 декабря 2017 г.
§7. Показательные неравенства 27.12.2017 15:43
Рассмотрим неравенство af(x)>ag(x)a^{f(x)}>a^{g(x)}.
Пусть f(x)f(x) и g(x)g(x) - непрерывные функции на некотором промежутке XX, где задано число a>0a>0. Тогда af(x)a^{f(x)}, ag(x)a^{g(x)} - тоже непрерывны на XX и к неравенству af(x)>a...
3375 просмотров
27 декабря 2017 г.
§6. Логарифмы с переменным основанием. Уравнения вида $$\textrm{log}_{a(x)}{f(x)} = \textrm{log}_{a(x)}{g(x)}$$ 27.12.2017 13:56
Рассмотрим выражение y(x)=logaxf(x)y(x) = \textrm{log}_a{x}{f(x)}.
По определению, для любого c>0c>0, c≠1 c \neq 1 \:\:\: loga(x)=logcf(x)logca(x)\fbox{ \textrm{log}_{a(x)} = \dfrac{\textrm{log}_c{f(x)}}{\text...
3511 просмотров
27 декабря 2017 г.
§5. Сложная экспонента. Уравнение вида $$a(x)^{f(x)} = a(x)^{g(x)} $$ 27.12.2017 12:57
Рассмотрим выражение y(x)=a(x)f(x)y(x)=a(x)^{f(x)}. Что это за функция, какова ее область определения?
По определению, полагают, для любого c>0c>0, c≠1c\neq 1, a(x)>0 a(x)>0 \:\:\:\:\:
a(x)b(x...
4520 просмотров
27 декабря 2017 г.
§4. Логарифмические уравнения 27.12.2017 11:11
Логарифмические уравнения считаются сложными. Во-первых, потому, что у логарифма есть область определения. Во-вторых, подлогарифмические выражения могут быть любыми функциями, и надо помнить, что последующие преобразования могут быть неравносильными(на...
3132 просмотра
26 декабря 2017 г.
§3. Показательные уравнения 26.12.2017 17:17
Из монотонности показательной функции следует, что ax=ay⇔x=ya^x=a^y \Leftrightarrow x=y.
Из свойств показательной функции следует, что, если a>0a>0, a≠1a \neq 1, то простейшее показательное уравнение ax=ba^x=b при b≤0b \leq 0 не имеет...
3442 просмотра
26 декабря 2017 г.
§1. Введение 26.12.2017 11:28
Напомним основные свойства логарифмической и показательной функций.
В школе принимается без доказательства, что для любых положительных чисел aa и bb и любых действительных чисел α\alpha и β\beta справедливы свойства:
С1. aα...
3407 просмотров
26 декабря 2017 г.
§2. Логарифмирование и потенцирование 26.12.2017 11:27
При решении показательных и логарифмических уравнений особенно часто используются два преобразования: потенцирование и логарифмирование. Эти преобразования не являются равносильными. Логарифмированием уравнения f(x)=g(x)f(x)=g(x) по основанию aa (...
4528 просмотров
Сообщение отправлено!
Сообщение не отправлено. Проверьте правильность введёных данных.
