Авторы учебных материалов Останин Павел Антонович
- Квалификация кандидат физико-математических наук
-
Описание
Преподаватель кафедры математических основ управления и кафедры высшей математики.
- Место работы МФТИ, кафедра высшей математики
Математика
Тригонометрический уравнения, системы, неравенства
C 30 декабря
по 5 февраля
по 5 февраля
PA_Лекций: 8
PA_Учеников: 208
Математика
Тригонометрический уравнения, системы, неравенства
C 30 декабря
по 5 февраля
по 5 февраля
PA_Лекций: 8
PA_Учеников: 100
Математика
Тригонометрический уравнения, системы, неравенства
C 30 декабря
по 5 февраля
по 5 февраля
PA_Лекций: 9
PA_Учеников: 1397
29 декабря 2025 г.
§6. Элементарные тригонометрические уравнения 29.12.2025 13:00
Простейшими, или элементарными, тригонометрическими уравнениями называют уравнения вида `f(x) = a`, где `f` `-` одна из четырёх функций `sin`, `cos`, `"tg"`, `"ctg"`, а `a` `-` заданное число. Для простейших тригонометрических уравнений необходимо знат...
78 просмотров
29 декабря 2025 г.
§6. Элементарные тригонометрические уравнения 29.12.2025 13:00
Простейшими, или элементарными, тригонометрическими уравнениями называют уравнения вида `f(x) = a`, где `f` `-` одна из четырёх функций `sin`, `cos`, `"tg"`, `"ctg"`, а `a` `-` заданное число. Для простейших тригонометрических уравнений необходимо знат...
78 просмотров
24 октября 2025 г.
7.2 Часто используемые замены 24.10.2025 07:49
Пример 7.6
Решите уравнение `2sin 3x = 3cos 3x`.
Решение
Рассмотрим два случая.
1) `cos 3x = 0`. Из основного тригонометрического тождества `sin 3x ne 0`, поэтому в данном случае корней нет.
2) `cos 3x ne 0`. Тогда можно разделить левую и ...
101 просмотр
24 октября 2025 г.
7.1 Разложение на множители и применение тригонометрических формул 24.10.2025 07:48
В разделах 7.1 и 7.2 мы приведём несколько часто встречающихся методов решения тригонометрических уравнений и рассмотрим соответствующие примеры.
Часто удаётся разложить левую часть уравнения `f(x) = 0` на множители, после чего исходное уравнение оказ...
81 просмотр
24 октября 2025 г.
§6. Элементарные тригонометрические уравнения 24.10.2025 06:26
Простейшими, или элементарными, тригонометрическими уравнениями называют уравнения вида `f(x) = a`, где `f` `-` одна из четырёх функций `sin`, `cos`, `"tg"`, `"ctg"`, а `a` `-` заданное число. Для простейших тригонометрических уравнений необходимо знат...
73 просмотра
23 октября 2025 г.
5.3 Арккосинус и арккотангенс 23.10.2025 11:38
Арккосинусом числа `x in [-1, 1]` называется такой угол из отрезка `[0, pi]`, что его косинус равен `x`. Этот угол обозначается `arccos x`.
Данное определение равносильно следующему:
$$\arccos x = \varphi \ \ \Leftrightarrow \ \ \beg...
73 просмотра
23 октября 2025 г.
5.4 Некоторые свойства обратных тригонометрических функций и примеры работы с ними 23.10.2025 09:11
Отметим полезные формулы для обратных тригонометрических функций.
Как уже отмечалось, `arcsin x` и `"arctg" x` `-` нечётные функции, поэтому
`arcsin(-x) = -arcsin x,` `"arctg"(-x) = -"arctg" x.`
Для арккосинуса и арккотанг...
75 просмотров
23 октября 2025 г.
5.2 Арксинус и арктангенс 23.10.2025 09:09
Арксинусом числа $$x\in[-1, 1]$$ называется такой угол из отрезка $$\left[-\dfrac{\pi}{2}, \dfrac{\pi}{2}\right]$$, что его синус равен `x`. Этот угол обозначается `arcsin x`.
При решении задач удобно записать это определение в следующем виде:...
71 просмотр
23 октября 2025 г.
5.1 Обратные функции 23.10.2025 09:08
Пусть `f(x)` `-` некоторая функция с областью определения `D` (в качестве `D` рассмотрим отрезок, интервал, луч или всю числовую прямую `RR`), а `E` `-` множество её значений. Функция `g(y)`, определённая при `y in E` называется обратной к `f(x)`, если...
81 просмотр
23 октября 2025 г.
§4. Примеры вычислений и преобразований тригонометрических выражений 23.10.2025 09:07
Пример 4.1
Вычислите $$\cos 20^\circ \cdot \cos 40^\circ \cdot \cos 80^\circ$$.
Решение
Умножим и разделим выражение на $$8\sin 20^\circ$$ и воспользуемся формулой синуса двойного угла трижды:
$$\dfrac{8\sin 20^\circ\cos 20^\circ \cdot \cos...
85 просмотров
23 октября 2025 г.
3.7 Универсальная тригонометрическая подстановка 23.10.2025 06:25
Универсальной тригонометрической подстановкой называются формулы, выражающие `sin x`, `cos x` и `"tg" x` через одну переменную `t = "tg" frac{x}{2}`. Покажем, как получить эти формулы:
$$\sin x = \dfrac{\sin x}{\sin^2 \frac{x}{2} + \cos^2 \frac{x}{2}}...
97 просмотров
23 октября 2025 г.
3.6 Формула вспомогательного угла 23.10.2025 06:24
Рассмотрим выражение вида $$a\sin x + b\cos x$$, где `a` и `b` `-` некоторые константы, не равные нулю одновременно. Оказывается, что это выражение можно представить в виде `P sin (Qx+R)` или `Scos(Tx+U)`. Покажем, как это сделать. Первым шагом нужно в...
78 просмотров
23 октября 2025 г.
3.5 Сумма и разность синусов и косинусов 23.10.2025 06:23
Часто оказывается нужно преобразовать выражения вида `sinalpha + sin beta` или `cos alpha- cos beta` в произведение некоторых функций. Соответствующие формулы:
$$\sin\alpha + \sin\beta = 2\sin \dfrac{\alpha+\beta}{2}\cos\dfrac{\alpha-\beta}{2};$$
...
78 просмотров
23 октября 2025 г.
3.4 Произведение синусов и косинусов 23.10.2025 06:22
Запишем формулы косинуса суммы и разности:
$$\cos(\alpha+\beta) = \cos\alpha \cos \beta - \sin\alpha\sin \beta, \ \ \ \ \ \cos(\alpha - \beta) = \cos\alpha\cos\beta + \sin\alpha\sin\beta.$$
Сложим эти равенства и разделим обе части на `2`. Получим фо...
97 просмотров
23 октября 2025 г.
3.3 Формулы двойного и тройного аргумента, формулы понижения степени 23.10.2025 06:21
Из формул синуса и косинуса суммы сразу следуют формулы
$$\sin 2\alpha = 2\sin \alpha \cos \alpha $$ и $$\cos 2\alpha = \cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha. $$
С помощью основного тригонометрического тождества формулу ...
98 просмотров
23 октября 2025 г.
3.2 Формулы приведения 23.10.2025 06:21
Так называются формулы для преобразования выражений вида $$f\left(\pm\alpha+\dfrac{\pi}{2}k\right)$$, где `f` `-` одна из четырёх тригонометрических функций `sin`, `cos`, `"tg"`, `"ctg"`, а число `k inZZ`. Выпишем некоторые из этих формул:
...
88 просмотров
23 октября 2025 г.
3.1 Синус, косинус и тангенс суммы и разности 23.10.2025 06:20
Следующие четыре формулы абсолютно необходимо выучить. Поскольку они содержатся в любом школьном курсе алгебры, их доказательство мы не приводим.
$$\sin(\alpha + \beta) = \sin\alpha \cos \beta +\sin\beta\cos\alpha;$$
$$\sin(\alpha - \beta) = \sin...
74 просмотра
21 октября 2025 г.
2.2 Периодичность 21.10.2025 10:31
Функция `f(x)`, определённая при всех вещественных `x`, называется периодической, а число `T != 0` её периодом, если равенство `f(x+T) = f(x)` выполнено при любых `x inRR`.
Ясно, что если `T` `-` период функции `f`, то числа `2T`, `3T` и так далее тож...
83 просмотра
21 октября 2025 г.
2.1 Чётность и нечётность 21.10.2025 10:30
Напомним, что функция `f(x)`, заданная на симметричной относительно нуля области определения `D(f)`, называется нечётной, `f(-x) = -f(x)` для всех `x in D(f)`, и чётной, если `f(-x) = f(x)` для всех `x in D(f)`. График чётной функции симметричен относи...
79 просмотров
21 октября 2025 г.
§1. Определение синуса, косинуса, тангенса и котангенса 21.10.2025 10:28
Рассмотрим тригонометрическую окружность `-` окружность единичного радиуса на координатной плоскости с центром в начале координат `O`. Пусть `M` `-` произвольная точка на этой окружности. Она может быть получена из точки `A(1, 0)` этой окружности повор...
79 просмотров
21 октября 2025 г.
Введение 21.10.2025 10:27
При первом знакомстве с тригонометрией может показаться, что в этом разделе школьной математики очень много формул. Отчасти это и правда так, но на самом деле все они достаточно легко получаются из очень малого набора «базовых» формул. Для ...
80 просмотров
16 октября 2025 г.
2.2 Задачи с параметром и нестандартные задачи 16.10.2025 11:06
Пример 2.10
Решите уравнение $$a\cos 2x +3\cos x + 6 - 7a = 0$$ при всех значениях параметра `a`.
Решение
После применения формулы $$\cos 2x = 2\cos^2 x - 1$$ получаем уравнение относительно $$\cos x$$:
$$2a \cos^2 x + 3\cos x + 6-8a = 0.$$...
82 просмотра
16 октября 2025 г.
§5. Уравнения, содержащие обратные тригонометрические функции 16.10.2025 11:05
Часто среди конкурсных задач встречаются уравнения, в которых фигурируют обратные тригонометрические функции `arcsin x`, `arccos x`, `"arctg" x`, `"arcctg" x`. При решении таких задач необходимо помнить области определения этих функций, множества значе...
97 просмотров
16 октября 2025 г.
4.2 Тригонометрические уравнения, содержащие знак корня 16.10.2025 11:04
Напомним, что $$\sqrt{f(x)} = g(x) \ \ \Leftrightarrow \ \ \begin{cases} f(x) = g^2(x), \\ g(x) \geq 0.\end{cases}$$
Если некоторое значение `x` удовлетворяет уравнению системы, то для него выполнено, что `f(x)>=0`, поскольку `f(x)` приравнивается ...
74 просмотра
16 октября 2025 г.
4.1 Метод интервалов 16.10.2025 11:03
При решении тригонометрических неравенств зачастую можно пользоваться (обобщённым) методом интервалов: найти нули функции (и нули знаменателя, если он есть), а затем определить знаки на получившихся промежутках, возможно, с помощью подстановки контроль...
87 просмотров
16 октября 2025 г.
§3. Системы тригонометрических уравнений 16.10.2025 11:02
В этом разделе мы рассмотрим несколько примеров систем тригонометрических уравнений с двумя неизвестными и продемонстрируем возможные подходы к их решению.
Пример 3.1
Решите систему уравнений $$\begin{cases} y+\sin x = 0, \\ (2\sqrt{\sin x}-1)(2y...
97 просмотров
16 октября 2025 г.
2.1 Решение тригонометрических уравнений 16.10.2025 11:00
Напомним основные приёмы решения тригонометрических уравнений. Обычно при работе с ними пользуются тригонометрическими тождествами и прочими техниками из школьной алгебры (формулы сокращённого умножения, разложение многочленов на множители) для приведе...
92 просмотра
16 октября 2025 г.
§1. Элементарные тригонометрические уравнения 16.10.2025 10:59
Перечислим основные формулы для решения основных четырёх элементарных тригонометрических уравнений.
При $$|a|>1$$ уравнение $$\sin x = a$$ не имеет решений. Если же $$|a|\leq 1$$, то
$$\sin x = a \Leftrightarrow x = (-1)^k \cdot \arcsin a + \p...
92 просмотра
Сообщение отправлено!
Сообщение не отправлено. Проверьте правильность введёных данных.
