многократный призер Всероссийской олимпиады по математике. Преподаватель кафедры высшей математики и кафедры математических основ управления МФТИ, лауреат конкурса Фонда «Династия» в номинации «Молодой учитель»
9 февраля 2021 г.Введение 09.02.2021 12:16
Действия с натуральными и целыми числами знакомы вам с младших классов, когда математика сводится по существу к арифметике. Полезно и поучительно подойти к ним, владея аппаратом алгебры. Задачи о делимости и уравнения в целых числах служат излюбленным ...
875 просмотров
2 июня 2020 г.§2 Десятичная запись числа 02.06.2020 19:49
Всякое натуральное число `N` единственным образом представимо в десятичной записи, которая имеет вид
`N=a_n*10^n+a_(n-1)*10^(n-1)+cdots+a_2*10^2+a_1*10+a_0`,
где `n` – натуральное число или `0`, а `a_n,a_(n-1),cdots,a_2,a_1,a_0`, – ...
852 просмотра
2 июня 2020 г.§1. Делимость целых чисел 02.06.2020 19:49
1.1. Основные понятия и факты
Напомним основные понятия и факты.
Множество натуральных чисел обозначается символом `NN`.
Множество целых чисел обозначается символом `ZZ`
Множество рациональных чисел обозначается символом `QQ`.
Множество действ...
820 просмотров
7 декабря 2019 г.3.4. Детальный анализ игры 07.12.2019 17:32
Данный параграф появился в связи с тем, что с 2015 года в ЕГЭ в задаче по теме теории игр требуется не только указать стратегию выигравшего, но и провести более подробный анализ, нарисовав дерево игры (о чём прямо сказано в условии) и ответив на дополн...
890 просмотров
7 декабря 2019 г.3.2. Анализ с конца 07.12.2019 17:32
Вторым важным способом решения задач является решение задачи с конца. Предположим (хотя это и не всегда верно), что для обоих игроков одни и те же позиции являются выигрышными.
Вернёмся к примеру 9.
Для нахождения выигрышной стратегии рассмотрим общу...
873 просмотра
4 декабря 2019 г.3.4. Детальный анализ игры 04.12.2019 07:06
Данный параграф появился в связи с тем, что с 2015 года в ЕГЭ в задаче по теме теории игр требуется не только указать стратегию выигравшего, но и провести более подробный анализ, нарисовав дерево игры (о чём прямо сказано в условии) и ответив на дополн...
1413 просмотров
4 декабря 2019 г.3.3. Дерево игры 04.12.2019 07:06
Данный способ является разновидностью анализа с конца и заключается в том, что мы будем анализировать в знаках «`+`» и «`-`» не все позиции, а только те, в которые можно прийти из начальной позиции. Для этого мы нарисуем дерево ...
1283 просмотра
4 декабря 2019 г.3.2. Анализ с конца 04.12.2019 07:06
Вторым важным способом решения задач является решение задачи с конца. Предположим (хотя это и не всегда верно), что для обоих игроков одни и те же позиции являются выигрышными.
Вернёмся к примеру 9.
Для нахождения выигрышной стратегии рассмотрим общу...
1345 просмотров
4 декабря 2019 г.§ 2. Стратегия. Правильная игра 04.12.2019 07:06
Вернёмся к примеру 5 и зададимся вопросом: кто выиграет?
В общем случае может выиграть любой из игроков – для этого его сопернику достаточно «подыграть». Однако второй игрок может выиграть при любых ходах первого игрока. Для этого ем...
1310 просмотров
4 декабря 2019 г.§ 1. Математические игры 04.12.2019 07:06
Будем называть игру математической, если для неё выполнены следующие условия:
Условия Математической игры
Условие 1. В игре участвуют два игрока.
Условие 2. Игра заканчиваются выигрышем одного из участников. Это автоматически означает проигрыш с...
1387 просмотров
4 декабря 2019 г.Элементы теории математических игр 04.12.2019 07:06
Игрой
называется процесс, в котором участвуют две или более стороны, ведущие борьбу за реализацию своих интересов.
Согласно этому определению, довольно много жизненных ситуаций можно считать играми - для этого требуется лишь борьба двух или б...
1263 просмотра
12 февраля 2019 г.§8. Понятие случайного события. Вероятность 12.02.2019 06:46
Определение
Случайным событием, связанным с некоторым опытом, называется всякое событие, которое при осуществлении этого опыта либо происходит, либо не происходит.
Первый пример случайного события – «выпадение герба» при под...
3302 просмотра
12 февраля 2019 г.§7. Бином Ньютона 12.02.2019 06:46
На разворотах многих школьных учебников по алгебре за 7 класс написаны следующие формулы:
(a+b)2=a2+2ab+b2, (a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2,\:\:\: (a+b)^3 = a^3+3a^2b + 3ab^2 + b^3.
Обобщим эту формулу для более...
1986 просмотров
12 февраля 2019 г.§6. Треугольник Паскаля 12.02.2019 06:46
Вернёмся к арифметическим свойствам количеств сочетаний и докажем свойство 2:
Доказательство Свойства 2
Cn+1k+1=Cnk+1+CnkC_{n+1}^{k+1} = C_n^{k+1} + C_n^k, если 0≤k+1≤n0 \leq k + 1 \leq n. Действительно,
Cnk+1+Cnk=n!(k+1)!(n-k-1)!+...
1926 просмотров
12 февраля 2019 г.§5. Формула включений и исключений 12.02.2019 06:46
Формулу включений и исключений для множеств вы проходили в предыдущем задании («Элементы теории множеств. Элементы логики»), и выглядела для двух множеств она так:
mA∪B=mA+mB-mA∩Bm\left( A \bigcup B \right) = m\left( A \right...
2103 просмотра
12 февраля 2019 г.§4. Правило суммы 12.02.2019 06:46
Правило суммы
Если объект a1a_1 можно выбрать n1n_1 способами, а объект a2a_2 можно выбрать n2n_2 способами, причём результаты выбора объектов a1a_1 и a2a_2 никогда не совпадают, то выбор «либо a1a_1, либо a2a_2» можно осуществить n1+n...
1932 просмотра
12 февраля 2019 г.§3. Сочетания 12.02.2019 06:45
В некоторых задачах при выборе kk элементов из nn не важен порядок их выбора – важно лишь множество выбранных элементов.
Определение
Всякий выбор неупорядоченных kk элементов из множества, состоящего из nn элементов, называется сочетанием и...
1867 просмотров
12 февраля 2019 г.§2. Размещения и перестановки 12.02.2019 06:45
Определение
Всякий выбор упорядоченных kk элементов[3] из множества, состоящего из nn элементов, называется размещением из nn элементов по kk элементов. Количество размещений из nn элементов по kk обозначается через AnkA_n^k. Символ AnkA...
1841 просмотр
12 февраля 2019 г.§1. Правило произведения 12.02.2019 06:45
Решение многих комбинаторных задач основывается на двух фундаментальных правилах, которые называются правилом произведения и правилом суммы. В этом параграфе мы познакомимся с первым из них. Однако проведём небольшой мысленный эксперимент.
Представьте...
2153 просмотра
11 января 2019 г.§4. Решение уравнений в целых числах 11.01.2019 07:32
4.1. Линейное диофантово уравнение с двумя неизвестными
В этом разделе рассматривается линейное уравнение
`ax+by=c`,
где `a`, `b`, `c` – целые числа, причём `ab!=0` (иначе это уравнение с не более одной неизвестной).
Уравнения с целым...
4155 просмотров
11 января 2019 г.§3. Деление целых чисел с остатком 11.01.2019 07:32
3.1. Основные понятия и факты
Теорема о делении с остатком
Всякое целое число `m` можно разделить с остатком на любое натуральное число `n`, т. е. однозначным образом представить в виде:
`m=nq+r,0<=r<n`,
где `q` – (це...
1995 просмотров
11 января 2019 г.Рекомендуемая литература 11.01.2019 07:32
Агаханов Н.Х., Подлипский О.К. Математические олимпиады Московской области 1993-2005. Изд. 2. - М.: МФТИ, 2006.
Алтуфова Н.Б., Устинов А.В. Алгебра и теория чисел. Сборник задач для математических школ, 2-е издание. М.: МЦНМО, 2002.
Виленкин Н.А., ...
2110 просмотров
11 января 2019 г.§1. Делимость целых чисел 11.01.2019 07:32
1.1. Основные понятия и факты
Напомним основные понятия и факты.
Множество натуральных чисел обозначается символом `NN`.
Множество целых чисел обозначается символом `ZZ`
Множество рациональных чисел обозначается символом `QQ`.
Множество действ...
1891 просмотр
28 ноября 2018 г.3.4. Детальный анализ игры 28.11.2018 07:32
Данный параграф появился в связи с тем, что с 2015 года в ЕГЭ в задаче по теме теории игр требуется не только указать стратегию выигравшего, но и провести более подробный анализ, нарисовав дерево игры (о чём прямо сказано в условии) и ответив на дополн...
1972 просмотра
28 ноября 2018 г.3.3. Дерево игры 28.11.2018 07:32
Данный способ является разновидностью анализа с конца и заключается в том, что мы будем анализировать в знаках «`+`» и «`-`» не все позиции, а только те, в которые можно прийти из начальной позиции. Для этого мы нарисуем дерево ...
2084 просмотра
28 ноября 2018 г.3.2. Анализ с конца 28.11.2018 07:32
Вторым важным способом решения задач является решение задачи с конца. Предположим (хотя это и не всегда верно), что для обоих игроков одни и те же позиции являются выигрышными.
Вернёмся к примеру 9.
Для нахождения выигрышной стратегии рассмотрим общу...
1954 просмотра
28 ноября 2018 г.3.1. Удачный ход 28.11.2018 07:32
Одним из способов нахождения выигрышных стратегий является удачный ответ на ход противника, например, учитывающий симметрию.
Пример 7
Два игрока по очереди ставят на шахматную доску слонов так, чтобы фигуры не били друг друга. Цвет фигур значения...
2000 просмотров
28 ноября 2018 г.§ 1. Математические игры 28.11.2018 07:32
Будем называть игру математической, если для неё выполнены следующие условия:
Условия Математической игры
Условие 1. В игре участвуют два игрока.
Условие 2. Игра заканчиваются выигрышем одного из участников. Это автоматически означает прои...
1903 просмотра
28 ноября 2018 г.Элементы теории математических игр 28.11.2018 07:32
Игрой
называется процесс, в котором участвуют две или более стороны, ведущие борьбу за реализацию своих интересов.
Согласно этому определению, довольно много жизненных ситуаций можно считать играми – для этого требуется лишь борьба двух...
2080 просмотров
8 марта 2018 г.Литература 08.03.2018 10:24
1. Генкин С.А., Итенберг И.В., Фомин Д.В. Ленинградские математические кружки. – Киров, 1994.
2. Кутасов А.Д., Пиголкина Т.С., Чехлов В.И., Яковлева Т.Х. Пособие по математике для поступающих в ВУЗы. /под ред. Г.Н .Яковлева – М.: Наука, 1988.
2886 просмотров
8 марта 2018 г.§8. Понятие случайного события. Вероятность 08.03.2018 10:22
Определение. Случайным событием, связанным с некоторым опытом, называется всякое событие, которое при осуществлении этого опыта либо происходит, либо не происходит.
Первый пример случайного события – «выпадение герба» при подбра...
3344 просмотра
8 марта 2018 г.§7. Бином Ньютона 08.03.2018 08:54
На разворотах многих школьных учебников по алгебре за 7 класс написаны следующие формулы:
(a+b)2=a2+2ab+b2, (a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2,\:\:\: (a+b)^3 = a^3+3a^2b + 3ab^2 + b^3.
Обобщим эту формулу для более...
3459 просмотров
7 марта 2018 г.§6. Треугольник Паскаля 07.03.2018 13:57
Вернёмся к арифметическим свойствам количеств сочетаний и докажем свойство 2: Cn+1k+1=Cnk+1+CnkC_{n+1}^{k+1} = C_n^{k+1} + C_n^k, если 0≤k+1≤n0 \leq k + 1 \leq n. Действительно,
Cnk+1+Cnk=n!(k+1)!(n-k-1)!+n!k!(n-k)!=n!((n-k)+(k+1))(k+1)!...
5399 просмотров
7 марта 2018 г.§5. Формула включений и исключений 07.03.2018 13:53
Формулу включений и исключений для множеств вы проходили в предыдущем задании («Элементы теории множеств. Элементы логики»), и выглядела для двух множеств она так:
mA∪B=mA+mB-mA∩Bm\left( A \bigcup B \right) = m\left( A \right...
4032 просмотра
7 марта 2018 г.§4. Правило суммы 07.03.2018 12:33
Правило суммы. Если объект a1a_1 можно выбрать n1n_1 способами, а объект a2a_2 можно выбрать n2n_2 способами, причём результаты выбора объектов a1a_1 и a2a_2 никогда не совпадают, то выбор «либо a1a_1, либо a2a_2» можно осуществить n1+n2n_1...
2702 просмотра
6 марта 2018 г.§3. Сочетания 06.03.2018 11:02
В некоторых задачах при выборе kk элементов из nn не важен порядок их выбора – важно лишь множество выбранных элементов.
Определение. Всякий выбор неупорядоченных kk элементов из множества, состоящего из nn элементов, называется сочетанием из nn...
2773 просмотра
6 марта 2018 г.§2. Размещения и перестановки 06.03.2018 10:50
Определение. Всякий выбор упорядоченных kk элементов 3{\:}^3 из множества, состоящего из nn элементов, называется размещением из nn элементов по kk элементов. Количество размещений из nn элементов по kk обозначается через AnkA_n^k. Символ AnkA_n...
2981 просмотр
6 марта 2018 г.§1. Правило произведения 06.03.2018 09:42
Решение многих комбинаторных задач основывается на двух фундаментальных правилах, которые называются правилом произведения и правилом суммы. В этом параграфе мы познакомимся с первым из них. Однако проведём небольшой мысленный эксперимент.
Представьте...
2997 просмотров
27 февраля 2018 г.§4. Решение уравнений в целых числах 27.02.2018 13:22
4.1. Линейное диофантово уравнение с двумя неизвестными
В этом разделе рассматривается линейное уравнение
`ax+by=c`,
где `a`, `b`, `c` – целые числа, причём `ab!=0` (иначе это уравнение с не более одной неизвестной).
Уравнения с целым...
28535 просмотров
26 февраля 2018 г.§3. Деление целых чисел с остатком 26.02.2018 14:50
3.1. Основные понятия и факты
Теорема о делении с остатком
Всякое целое число `m` можно разделить с остатком на любое натуральное число `n`, т. е. однозначным образом представить в виде:
`m=nq+r,0<=r<n`,
где `q` – (...
6514 просмотров
26 февраля 2018 г.Рекомендуемая литература 26.02.2018 14:49
Агаханов Н.Х., Подлипский О.К. Математические олимпиады Московской области 1993-2005. Изд. 2. – М.: МФТИ, 2006.
Алтуфова Н.Б., Устинов А.В. Алгебра и теория чисел. Сборник задач для математических школ, 2-е издание. М.: МЦНМО, 2002.
Виленкин ...
3085 просмотров
26 февраля 2018 г.§2 Десятичная запись числа 26.02.2018 12:20
Всякое натуральное число `N` единственным образом представимо в десятичной записи, которая имеет вид
`N=a_n*10^n+a_(n-1)*10^(n-1)+cdots+a_2*10^2+a_1*10+a_0`,
где `n` – натуральное число или `0`, а `a_n,a_(n-1),cdots,a_2,a_1,a_0`, – ...
15697 просмотров
26 февраля 2018 г.§1. Делимость целых чисел 26.02.2018 08:53
1.1. Основные понятия и факты
Напомним основные понятия и факты.
Множество натуральных чисел обозначается символом `NN`.
Множество целых чисел обозначается символом `ZZ`
Множество рациональных чисел обозначается символом `QQ`.
Множество действ...
4645 просмотров
29 января 2018 г.3.4. Детальный анализ игры 29.01.2018 15:00
Данный параграф появился в связи с тем, что с 2015 года в ЕГЭ в задаче по теме теории игр требуется не только указать стратегию выигравшего, но и провести более подробный анализ, нарисовав дерево игры (о чём прямо сказано в условии) и ответив на дополн...
3083 просмотра
29 января 2018 г.3.3. Дерево игры 29.01.2018 14:50
Данный способ является разновидностью анализа с конца и заключается в том, что мы будем анализировать в знаках «`+`» и «`-`» не все позиции, а только те, в которые можно прийти из начальной позиции. Для этого мы нарисуем дерево ...
3136 просмотров
29 января 2018 г.3.2. Анализ с конца 29.01.2018 14:09
Вторым важным способом решения задач является решение задачи с конца. Предположим (хотя это и не всегда верно), что для обоих игроков одни и те же позиции являются выигрышными.
Вернёмся к примеру 9.
Для нахождения выигрышной стратегии рассмотрим общу...
4596 просмотров
29 января 2018 г.3.1. Удачный ход 29.01.2018 14:01
Одним из способов нахождения выигрышных стратегий является удачный ответ на ход противника, например, учитывающий симметрию.
Пример 7
Два игрока по очереди ставят на шахматную доску слонов так, чтобы фигуры не били друг друга. Цвет фигур значения...
2899 просмотров
29 января 2018 г.§ 2. Стратегия. Правильная игра 29.01.2018 13:57
Вернёмся к примеру 5 и зададимся вопросом: кто выиграет?
В общем случае может выиграть любой из игроков – для этого его сопернику достаточно «подыграть». Однако второй игрок может выиграть при любых ходах первого игрока. Для этого ем...
3573 просмотра
29 января 2018 г.§ 1. Математические игры 29.01.2018 13:38
Будем называть игру математической, если для неё выполнены следующие условия:
Условия Математической игры
Условие 1. В игре участвуют два игрока.
Условие 2. Игра заканчиваются выигрышем одного из участников. Это автоматически означает прои...
2872 просмотра
29 января 2018 г.Элементы теории математических игр 29.01.2018 13:29
Игрой
называется процесс, в котором участвуют две или более стороны, ведущие борьбу за реализацию своих интересов.
Согласно этому определению, довольно много жизненных ситуаций можно считать играми – для этого требуется лишь борьба двух...
2533 просмотра
Сообщение отправлено!
Сообщение не отправлено. Проверьте правильность введёных данных.